Откуда пошло выражение "иди в баню"? Почему именно в баню?

Откуда пошло выражение "иди в баню"? Почему именно в баню? 

Это эвфемизм, ритмически звучащий так же, как и выражение, им замещаемое. Т.е. после "Пошёл ты..." требуется односложный хорей. У меня коллега (дама) в таких случаях употребляет "... лЕсом".

Также вам будет интересно: когда появились первые лотереи?

А появился он - не помню когда. Но довольно давно, я нашёл в тексте 1964 года:

Через минуту примчался сам Роман.
-- Давай ключи.
Я помотал головой.
-- Не дам.
-- Давай ключи!
-- Иди ты в баню. Я лицо материально ответственное.
А. и Б. Стругацкие "Понедельник начинается в субботу"

Нельзя, собственно, понять национальной специфики этой языковой сферы без учета такой взаимозависимости. В синхронном словопроизводстве мы уже видели это, демонстрируя производные обсценного глагола. Диахронически эту связь можно показать анализом двух наиболее актуальных для русской бранной фразеологии типов ругательств - так называемых посылов и заклятий, т.е. пожеланий зла, неудачи или восклицаний, выражающих стремление избавиться, отделаться от кого-либо. Сакральность и обсценность, как увидим, здесь переплетается в единое целое.
1. Посылы к какому-либо мифологическому персонажу, олицетворяющему зло, губительное начало: Иди ты к черту! Иди ты к лешему! Пошел ты к чертям собачьим! (диал. сиб.); Ступай к чёрному (СФС, 182) - Поди ты к чомеру! (СФС, 144), Иди к лесному! (СФС, 82) и т.п.
Такой посыл может выражаться не прямым наименованием черта, а указанием на место его пребывания: Иди ты в болото! А ну тебя в баню! А ну его на лысую гору! А ну его на лысую гору к ведьмам! (диал. брянск.) Вертись ты в вир на дно! (СРНГ 4, 291), где вир 'глубокое место в реке или озере; омут, водоворот или топкое место, провал в болоте'. Эта замена вполне объяснима ономасиологическими моделями наименования славянских чертей (см. Толстой, 1974; 1976). К этому разряду относятся и обороты полуэвфемистического характера, возникшие на основе таких, восходящих к язычеству, посылов, но шутливо-иронически переосмысленных в "христианском" либо "мусульманском" ключе: Иди ты к богу в рай! Иди ты к аллаху! Достаточно условно к этому разряду можно отнести и сакральную экспрессивную лексику и фразеологию типа Боже ты мой! Пресвятая мать! Мать пречистая! Батюшки святы! Они, однако, в русском языке менее активны, чем в романских и германских языках и во многом подвержены обсценной модели, где слово мать, как мы видели, имеет десакрализованный источник.
2. Пожелания зла и неудачи, выраженные мифологемами аналогичного типа, что в разряде I: Черт тебя возьми! Черт тебя подери! (Новг.) Памха бы тя побрала!, где памха 'черт, живущий на болоте' (ср. памха 'моховое болото' (Строгова, 1971), смол. Анчут вас возьми! (ряз.) Паралик тебя возьми! и т.п. (Мокиенко, 1986, 182-183).
Для заклятий этой группы характерна постоянная связь, даже более того - семантический синкретизм значений 'черт, нечистый дух' > 'болезнь'. Она регулярно прослеживается в демонологическом "именослове" славянскихи балтийских языков (Eckert, 1991, 120-121). Недавно такую связь продемонстрировал на примере семантического анализа диалектного слова чемер 'злой дух, черт' Н.И. Толстой, сопоставивший эту демонологическую модель с выражениями типа Холера его забери! (Толстой, 1992). Ср. диалектизмы типа сиб. Лихоманка тебя возьми! (СФС, 100), смол. Лихач тебя убей! (Добр., 37), Родимец тебя забей! (Добр., 37), курск. Трясца тебя ухвати! (Бусл., 1854, 146) и т.п.